Как да решим система от линейни уравнения

Линейното уравнение е уравнение, което изобразява права. Система от линейни уравнения е, когато има две или повече линейни уравнения, групирани заедно.

За да опростим илюстрацията, ще разгледаме системи от две уравнения. Както подсказва името, има две неизвестни променливи. Често те са обозначени с буквите x и y . Ако уравненията описват някакъв процес, буквите могат да бъдат избрани според ролите, които те играят. Например d може да означава разстояние, а t време.

В тази статия ще научим как да решаваме системи от линейни уравнения с помощта на два забавни метода. Но преди да започнем, нека видим как се оказваме с определена система, като разгледаме пример от реалния живот.

Извличане на система

Момче се качва на колелото си и започва да кара до училище. Той се вози на 200 ярда всяка минута.

6 минути по-късно майка му осъзнава, че синът й е забравил обяда си. Качва се на собствения си велосипед и започва да следва момчето. Тя язди 500 ярда всяка минута (тя е олимпийка и златна медалистка).

Искаме да разберем колко време отнема на майката да настигне момчето и колко далеч трябва да язди, за да го направи.

Тъй като момчето обхваща 200 ярда всяка минута, в т минути той ще обхване 200 пъти т дворове или 200T дворове.

Майка му започва да кара колело 6 минути по-късно, така че кара (t - 6) минути. Тъй като тя покрива 500 ярда всяка минута, за (t - 6) минути тя обхваща 500 пъти (t - 6) ярда или 500 (t - 6) ярда.

Докато тя го настигне, и двамата са изминали едно и също разстояние. Да кажем, че засега разстоянието е d .

За момчето имаме   d = 200t, а за майка му d = 500 (t - 6) . Сега имаме нашата система от две уравнения.

Често се добавя къдрава скоба, която показва, че уравненията образуват система.

Сега нека видим как можем да решим тази система.

Решаване чрез заместване

Първият метод, който ще разгледаме, използва заместване .

Тук имаме две неизвестни, d и t . Идеята е да се отървете от една променлива, като я изразите с помощта на другата променлива.

Горното уравнение ни казва, че d = 200t , така че нека включим 200t за d в долното уравнение. В резултат имаме уравнение само с променливата t .

Първо разширяваме дясната страна: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

След това опростяваме, като преместваме неизвестните членове на едната страна и известните членове на другата. Резултатът е: 500t - 200t = 3000 .

Решаването на t ни дава t = 10 , или тъй като измерваме времето в минути, t = 10 минути . С други думи, майката ще настигне сина си след 10 минути.

Втората част от нашия проблем е да разберем докъде е трябвало да измине цикъла, за да го настигне.

За да отговорим на този въпрос, трябва да намерим d . Заместването на t = 10 във всяко уравнение ще ни даде този отговор.

За да го улесните, нека използваме горното уравнение, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Тъй като измерваме разстоянието в ярдове, d = 2000 ярда .

Нека проверим вашето разбиране досега - опитайте се да решите следващата система сами:

{

у = 2х

y = 3 (x - 1)

Изберете 1 отговор


x = 3 и y = 6
x = 1 и y = 2
x = 6 и y = 3
x = 1/2 и y = 2/3
Изпращане

В системата по-горе неизвестните променливи са x и y .

От горното уравнение знаем, че y = 2x . Замествайки това в долното уравнение, получаваме 2 (2x) = 3 (x + 1) .

След като разширим и опростим, получаваме 4x = 3x + 3 . Или x = 3 . Следователно y = 2 * 3 = 6 .

Решаване чрез графика

Вторият метод, който ще разгледаме, използва графики ,където намираме решението на система от уравнения, като ги изобразяваме графично.

Например, вземете тази система: y = 2x + 3 и y = 9 - x .

Графика на всяко уравнение ще бъде линия. Първият за y = 2x + 3 изглежда така:  

След това можем да изобразим линия за y = 9 - x :  

Тези две линии се пресичат точно в една точка. Тази точка е единственото решение и за двете уравнения:

Подредената двойка (2, 7) ни дава координатите на нашата точка на пресичане. Тази двойка е решението на системата. Заместването на x = 2 и y = 7 ще ни позволи да проверим това.

Ами ако графиките са успоредни и изобщо не се пресичат? Например:

Когато графиките на уравненията не се пресичат, това означава, че нашата система няма решение. Опитът да се реши чрез заместване ще докаже това.

Резултатът от x - 1 = x - 3 ще бъде 0 = -2 , което винаги е невярно .

Но какво, ако две графики са еднакви и са директно една върху друга?

В такива случаи има безкраен брой точки на пресичане. Това означава, че нашата система има безкраен брой решения. Използването на метода на заместване ще докаже това.

Резултатът от x - 2 = x - 2 е 0 = 0 , което винаги е вярно .

Повече практика

Опитайте да използвате методите за заместване и графики, за да решите следните системи. Тези методи се допълват взаимно и ще ви помогнат да затвърдите знанията си.

{

y = 2

3y - 2x = 4

Изберете 1 отговор


Системата няма решение
x = 1/2 и y = 1
x = 1 и y = 2
x = 0 и y = 2
Изпращане

Изборът на определена променлива, която да се използва като заместител, трябва да улесни намирането на решение.

Опитайте да изразите x с двама други членове в горното уравнение, след което заместете резултата в долното уравнение. По този начин ще избегнете работата с дроби.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Изберете 1 отговор


x = 5 и y = 5/2
x = 1 и y = 2
x = 1 и y = 1
x = 2 и y = 1
Изпращане

Нека направим още едно предизвикателство:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Изберете 1 отговор


x = -2 и y = 1
Безкраен брой решения
x = 2 и y = -1
x = -1/6 и y = 6
Изпращане

Сега, когато знаете достатъчно за заместването и графиката, излезте там и решете още линейни уравнения.