Какво е обяснението на Big O Notation: Сложност на пространството и времето

Наистина ли разбирате Big O? Ако е така, това ще освежи вашето разбиране преди интервю. Ако не, не се притеснявайте - елате и се присъединете към нас за някои начинания в областта на компютърните науки.

Ако сте посещавали курсове, свързани с алгоритъма, вероятно сте чували за термина Big O notation . Ако не сте, ще го разгледаме тук и след това ще разберем по-задълбочено какво е всъщност.

Нотацията Big O е един от най-фундаменталните инструменти за компютърните учени да анализират цената на даден алгоритъм. Добра практика е софтуерните инженери да разбират и задълбочено.

Тази статия е написана с предположението, че вече сте се справили с някакъв код. Също така някои задълбочени материали също изискват основни математически основи и следователно могат да бъдат малко по-неудобни за начинаещи. Но ако сте готови, нека да започнем!

В тази статия ще имаме задълбочена дискусия за нотация Big O. Ще започнем с примерен алгоритъм, за да разкрием нашето разбиране. След това ще навлезем малко в математиката, за да имаме формално разбиране. След това ще разгледаме някои често срещани варианти на нотация на Big O. В крайна сметка ще обсъдим някои от ограниченията на Big O в практически сценарий. Съдържание можете да намерите по-долу.

Съдържание

  1. Какво е нотация Big O и защо има значение
  2. Официална дефиниция на Big O нотация
  3. Big O, Little O, Omega & Theta
  4. Сравнение на сложността между типичните големи Os
  5. Сложност на времето и пространството
  6. Най-добра, средна, най-лоша, очаквана сложност
  7. Защо Big O няма значение
  8. В края…

Така че нека да започнем.

1. Какво е Big O Notation и защо има значение

„Big O notation е математическа нотация, която описва ограничаващото поведение на функция, когато аргументът има тенденция към определена стойност или безкрайност. Той е член на семейство нотации, измислено от Пол Бахман, Едмънд Ландау и други, наречени колективно нотация на Бахман – Ландау или асимптотична нотация. “- дефиницията на Big O нотация в Уикипедия

С прости думи, обозначението Big O описва сложността на вашия код, използвайки алгебрични термини.

За да разберем какво е нотация Big O, можем да разгледаме един типичен пример, O (n²) , който обикновено се произнася „Big O на квадрат“ . Буквата „n“ тук представлява размера на входа , а функцията „g (n) = n²“ вътре в „O ()“ ни дава представа колко сложен е алгоритъмът по отношение на размера на входа.

Типичен алгоритъм, който има сложността на O (n²), ще бъде алгоритъмът за сортиране на подбора . Сортирането по селекция е алгоритъм за сортиране, който прелиства списъка, за да гарантира, че всеки елемент с индекс i е i - тият най - малък / най-голям елемент от списъка. В CODEPEN долу дава визуална пример за това.

Алгоритъмът може да бъде описан със следния код. За да се увери, че i-ият елемент е i - тият най - малък елемент в списъка, този алгоритъм първо прелиства списъка с цикъл for. След това за всеки елемент използва друг цикъл for, за да намери най-малкия елемент в останалата част от списъка.

SelectionSort(List) { for(i from 0 to List.Length) { SmallestElement = List[i] for(j from i to List.Length) { if(SmallestElement > List[j]) { SmallestElement = List[j] } } Swap(List[i], SmallestElement) } }

В този сценарий ние разглеждаме променливата List като вход, като по този начин размерът на въвеждане n е броят на елементите вътре в List . Да приемем, че операторът if и присвояването на стойност, ограничено от оператора if, отнема постоянно време. След това можем да намерим голямата O нотация за функцията SelectionSort, като анализираме колко пъти са изпълнени операторите.

Първо вътрешният цикъл for изпълнява операторите вътре n пъти. И след това, след като i се увеличи, вътрешният цикъл for се изпълнява n-1 пъти ... ... докато се изпълни веднъж, след което и двата цикъла for достигат своите крайни условия.

Това в крайна сметка ни дава геометрична сума и с малко математика в гимназията ще открием, че вътрешният цикъл ще се повтори за 1 + 2 ... + n пъти, което е равно на n (n-1) / 2 пъти. Ако умножим това, ще получим n² / 2-n / 2.

Когато изчисляваме големи O нотации, ние се грижим само за доминиращите членове и не ни интересуват коефициентите. По този начин ние приемаме n² като нашето окончателно голямо O. Записваме го като O (n²), което отново се произнася „Big O на квадрат“ .

Сега може би се чудите какво представлява този „доминиращ термин“ ? И защо не ни интересуват коефициентите? Не се притеснявайте, ще ги разгледаме един по един. Може да е малко трудно да се разбере в началото, но всичко ще има много повече смисъл, докато четете следващия раздел.

2. Официална дефиниция на обозначението Big O

Имало едно време индийски крал, който искал да награди мъдър човек за неговото съвършенство. Мъдрият човек не поискал нищо, освен малко жито, което да запълни шахматна дъска.

Но тук бяха неговите правила: в първата плочка той иска 1 зърно пшеница, след това 2 на втората плочка, след това 4 на следващата ... всяка плочка на шахматната дъска трябваше да бъде напълнена с двойно количество зърна, както предишната един. Наивният крал се съгласи без колебание, мислейки, че ще бъде тривиално искане да се изпълни, докато всъщност продължи и не опита ...

И така, колко зърна жито дължи царят на мъдреца? Знаем, че една шахматна дъска има 8 квадратчета по 8 квадрата, което възлиза на 64 плочки, така че крайната плочка трябва да има 2⁶⁴ зърна пшеница. Ако направите изчисление онлайн, в крайна сметка ще получите 1,8446744 * 10¹⁹, което е около 18, последвано от 18 нули. Ако приемем, че всяко зърно пшеница тежи 0,01 грама, това ни дава 184 467 440 737 тона пшеница. А 184 милиарда тона са доста, нали?

Числата растат доста бързо по-късно за експоненциален растеж, нали? Същата логика важи и за компютърните алгоритми. Ако необходимите усилия за изпълнение на задачата нарастват експоненциално по отношение на размера на входа, в крайна сметка може да стане изключително голям.

Сега квадратът на 64 е 4096. Ако добавите това число към 2⁶⁴, то ще бъде загубено извън значимите цифри. Ето защо, когато разглеждаме темпа на растеж, ние се грижим само за господстващите условия. И тъй като искаме да анализираме растежа по отношение на размера на входа, коефициентите, които само умножават броя, вместо да нарастват с размера на входа, не съдържат полезна информация.

По-долу е официалното определение на Big O:

Официалната дефиниция е полезна, когато трябва да извършите математическа проверка. Например сложността на времето за сортиране на селекцията може да бъде дефинирана от функцията f (n) = n² / 2-n / 2, както обсъдихме в предишния раздел.

Ако позволим на нашата функция g (n) да бъде n², можем да намерим константа c = 1 и a N₀ = 0 и докато N> N₀, N² винаги ще бъде по-голяма от N² / 2-N / 2. Лесно можем да докажем това, като извадим N² / 2 от двете функции, след което лесно можем да видим, че N² / 2> -N / 2 е вярно, когато N> 0. Следователно, можем да стигнем до заключението, че f (n) = O (n²), в другата селекция сортирането е „голямо O на квадрат“.

You might have noticed a little trick here. That is, if you make g(n) grow supper fast, way faster than anything, O(g(n)) will always be great enough. For example, for any polynomial function, you can always be right by saying that they are O(2ⁿ) because 2ⁿ will eventually outgrow any polynomials.

Mathematically, you are right, but generally when we talk about Big O, we want to know the tight bound of the function. You will understand this more as you read through the next section.

But before we go, let’s test your understanding with the following question. The answer will be found in later sections so it won’t be a throw away.

Въпрос: Изображението е представено от 2D масив от пиксели. Ако използвате вложен for цикъл, за да итерирате през всеки пиксел (т.е. имате цикъл for, минаващ през всички колони, а след това друг for цикъл вътре, за да премине през всички редове), каква е сложността на времето на алгоритъма, когато изображението се счита за вход?

3. Big O, Little O, Omega & Theta

Голямо O: „f (n) е O (g (n))“ iff за някои константи c и N₀, f (N) ≤ cg (N) за всички N> N₀Omega: „f (n) е Ω (g ( n)) "iff за някои константи c и N₀, f (N) ≥ cg (N) за всички N> N₀Тета:" f (n) е Θ (g (n)) "iff f (n) е O (g (n)) и f (n) е Ω (g (n)) Малко O: „f (n) е o (g (n))“, ако f (n) е O (g (n)) и f ( n) не е Θ (g (n)) - Официално определение на Big O, Omega, Theta и Little O

С прости думи:

  • Big O (O()) describes the upper bound of the complexity.
  • Omega (Ω()) describes the lower bound of the complexity.
  • Theta (Θ()) describes the exact bound of the complexity.
  • Little O (o()) describes the upper bound excluding the exact bound.

For example, the function g(n) = n² + 3n is O(n³), o(n⁴), Θ(n²) and Ω(n). But you would still be right if you say it is Ω(n²) or O(n²).

Generally, when we talk about Big O, what we actually meant is Theta. It is kind of meaningless when you give an upper bound that is way larger than the scope of the analysis. This would be similar to solving inequalities by putting ∞ on the larger side, which will almost always make you right.

But how do we determine which functions are more complex than others? In the next section you will be reading, we will learn that in detail.

4. Complexity Comparison Between Typical Big Os

When we are trying to figure out the Big O for a particular function g(n), we only care about the dominant term of the function. The dominant term is the term that grows the fastest.

For example, n² grows faster than n, so if we have something like g(n) = n² + 5n + 6, it will be big O(n²). If you have taken some calculus before, this is very similar to the shortcut of finding limits for fractional polynomials, where you only care about the dominant term for numerators and denominators in the end.

But which function grows faster than the others? There are actually quite a few rules.

1. O(1) has the least complexity

Often called “constant time”, if you can create an algorithm to solve the problem in O(1), you are probably at your best. In some scenarios, the complexity may go beyond O(1), then we can analyze them by finding its O(1/g(n)) counterpart. For example, O(1/n) is more complex than O(1/n²).

2. O(log(n)) is more complex than O(1), but less complex than polynomials

As complexity is often related to divide and conquer algorithms, O(log(n)) is generally a good complexity you can reach for sorting algorithms. O(log(n)) is less complex than O(√n), because the square root function can be considered a polynomial, where the exponent is 0.5.

3. Complexity of polynomials increases as the exponent increases

For example, O(n⁵) is more complex than O(n⁴). Due to the simplicity of it, we actually went over quite many examples of polynomials in the previous sections.

4. Exponentials have greater complexity than polynomials as long as the coefficients are positive multiples of n

O(2ⁿ) is more complex than O(n⁹⁹), but O(2ⁿ) is actually less complex than O(1). We generally take 2 as base for exponentials and logarithms because things tends to be binary in Computer Science, but exponents can be changed by changing the coefficients. If not specified, the base for logarithms is assumed to be 2.

5. Factorials have greater complexity than exponentials

If you are interested in the reasoning, look up the Gamma function, it is an analytic continuation of a factorial. A short proof is that both factorials and exponentials have the same number of multiplications, but the numbers that get multiplied grow for factorials, while remaining constant for exponentials.

6. Multiplying terms

When multiplying, the complexity will be greater than the original, but no more than the equivalence of multiplying something that is more complex. For example, O(n * log(n)) is more complex than O(n) but less complex than O(n²), because O(n²) = O(n * n) and n is more complex than log(n).

To test your understanding, try ranking the following functions from the most complex to the lease complex. The solutions with detailed explanations can be found in a later section as you read. Some of them are meant to be tricky and may require some deeper understanding of math. As you get to the solution, you will understand them more.

Въпрос: Класирайте следните функции от най-сложните до лизинговите. Решение на раздел 2 Въпрос: Всъщност той трябваше да бъде трик, за да провери вашето разбиране. Въпросът се опитва да ви накара да отговорите на O (n²), защото има вложен цикъл за. Предполага се обаче, че n е входният размер. Тъй като масивът от изображения е входът и всеки пиксел е бил повторен само веднъж, отговорът всъщност е O (n). Следващият раздел ще разгледа повече примери като този.

5. Сложност във времето и пространството

So far, we have only been discussing the time complexity of the algorithms. That is, we only care about how much time it takes for the program to complete the task. What also matters is the space the program takes to complete the task. The space complexity is related to how much memory the program will use, and therefore is also an important factor to analyze.

The space complexity works similarly to time complexity. For example, selection sort has a space complexity of O(1), because it only stores one minimum value and its index for comparison, the maximum space used does not increase with the input size.

Some algorithms, such as bucket sort, have a space complexity of O(n), but are able to chop down the time complexity to O(1). Bucket sort sorts the array by creating a sorted list of all the possible elements in the array, then increments the count whenever the element is encountered. In the end the sorted array will be the sorted list elements repeated by their counts.

6. Best, Average, Worst, Expected Complexity

The complexity can also be analyzed as best case, worst case, average case and expected case.

Let’s take insertion sort, for example. Insertion sort iterates through all the elements in the list. If the element is larger than its previous element, it inserts the element backwards until it is larger than the previous element.

If the array is initially sorted, no swap will be made. The algorithm will just iterate through the array once, which results a time complexity of O(n). Therefore, we would say that the best-case time complexity of insertion sort is O(n). A complexity of O(n) is also often called linear complexity.

Sometimes an algorithm just has bad luck. Quick sort, for example, will have to go through the list in O(n) time if the elements are sorted in the opposite order, but on average it sorts the array in O(n * log(n)) time. Generally, when we evaluate time complexity of an algorithm, we look at their worst-case performance. More on that and quick sort will be discussed in the next section as you read.

The average case complexity describes the expected performance of the algorithm. Sometimes involves calculating the probability of each scenarios. It can get complicated to go into the details and therefore not discussed in this article. Below is a cheat-sheet on the time and space complexity of typical algorithms.

Solution to Section 4 Question:

By inspecting the functions, we should be able to immediately rank the following polynomials from most complex to lease complex with rule 3. Where the square root of n is just n to the power of 0.5.

Then by applying rules 2 and 6, we will get the following. Base 3 log can be converted to base 2 with log base conversions. Base 3 log still grows a little bit slower then base 2 logs, and therefore gets ranked after.

The rest may look a little bit tricky, but let’s try to unveil their true faces and see where we can put them.

First of all, 2 to the power of 2 to the power of n is greater than 2 to the power of n, and the +1 spices it up even more.

And then since we know 2 to the power of log(n) with based 2 is equal to n, we can convert the following. The log with 0.001 as exponent grows a little bit more than constants, but less than almost anything else.

The one with n to the power of log(log(n)) is actually a variation of the quasi-polynomial, which is greater than polynomial but less than exponential. Since log(n) grows slower than n, the complexity of it is a bit less. The one with the inverse log converges to constant, as 1/log(n) diverges to infinity.

Факториалите могат да бъдат представени чрез умножения и по този начин могат да бъдат преобразувани в добавки извън логаритмичната функция. „N изберете 2“ може да се превърне в многочлен с кубичен член, който е най-големият.

И накрая, можем да класираме функциите от най-сложните към най-малко сложните.

Защо BigO няма значение

!!! - ВНИМАНИЕ - !!! Обсъжданото тук съдържание обикновено не се приема от повечето програмисти в света. Обсъдете го на свой риск в интервю. Хората всъщност водеха блогове за това как са провалили интервютата си в Google, защото са поставили под въпрос властта, както тук. !!! - ВНИМАНИЕ - !!!

Since we have previously learned that the worst case time complexity for quick sort is O(n²), but O(n * log(n)) for merge sort, merge sort should be faster — right? Well you probably have guessed that the answer is false. The algorithms are just wired up in a way that makes quick sort the “quick sort”.

To demonstrate, check out this trinket.io I made. It compares the time for quick sort and merge sort. I have only managed to test it on arrays with a length up to 10000, but as you can see so far, the time for merge sort grows faster than quick sort. Despite quick sort having a worse case complexity of O(n²), the likelihood of that is really low. When it comes to the increase in speed quick sort has over merge sort bounded by the O(n * log(n)) complexity, quick sort ends up with a better performance in average.

I have also made the below graph to compare the ratio between the time they take, as it is hard to see them at lower values. And as you can see, the percentage time taken for quick sort is in a descending order.

The moral of the story is, Big O notation is only a mathematical analysis to provide a reference on the resources consumed by the algorithm. Practically, the results may be different. But it is generally a good practice trying to chop down the complexity of our algorithms, until we run into a case where we know what we are doing.

In the end…

I like coding, learning new things and sharing them with the community. If there is anything in which you are particularly interested, please let me know. I generally write on web design, software architecture, mathematics and data science. You can find some great articles I have written before if you are interested in any of the topics above.

Hope you have a great time learning computer science!!!