Методът на Ойлер, обяснен с примери

Какво представлява методът на Ойлер?

Методът на Ойлер е числова процедура от първи ред за решаване на обикновени диференциални уравнения (ODE) с дадена начална стойност.

Общият проблем с първоначалната стойност

Методология

Методът на Ойлер използва простата формула,

да се построи допирателната в точката xи да се получи стойността на y(x+h), чийто наклон е,

В метода на Ойлер можете да приближите кривата на разтвора по допирателната във всеки интервал (т.е. чрез поредица от къси отсечки), на стъпки от h.

Като цяло , ако използвате малък размер на стъпката, точността на сближаване се увеличава.

Обща формула

Функционална стойност във всяка точка b, дадена отy(b)

където,

  • n = брой стъпки
  • h = ширина на интервала (размер на всяка стъпка)

Псевдокод

Пример

Намерете y(1), дадено

Решавайки аналитично, решението е y = ex и y(1)= 2.71828. (Забележка: Това аналитично решение е само за сравняване на точността.)

Използвайки метода на Ойлер, като се има предвид h= 0.2, 0.1, 0.01, можете да видите резултатите в диаграмата по-долу.

Когато h= 0.2, y(1)= 2.48832(грешка = 8,46%)

Когато h= 0.1, y(1)= 2.59374(грешка = 4,58%)

Когато h= 0.01, y(1)= 2.70481(грешка = 0,50%)

Можете да забележите как точността се подобрява, когато стъпките са малки.