Урок за таблица на истината за булева алгебра - обяснени XOR, NOR и логически символи

Всички обичаме компютрите. Те могат да направят толкова много невероятни неща. В рамките на няколко десетилетия компютрите революционизираха почти всички аспекти на човешкия живот.

Те могат да изпълняват задачи с различна степен на изтънченост, и всичко това само като обръщат нули и единици. Забележително е да се види как едно толкова просто действие може да доведе до толкова много сложност.

Но съм сигурен, че всички знаете, че такава сложност не може да бъде постигната (на практика) само чрез произволно обръщане на числата. Зад това наистина има някои разсъждения. Има правила, които уреждат начина, по който това трябва да се направи. В тази статия ще обсъдим тези правила и ще видим как те управляват начина, по който „мислят“ компютрите.

Какво е булева алгебра?

Правилата, които споменах по-горе, са описани от област на математиката, наречена булева алгебра.

В книгата си от 1854 г. британският математик Джордж Бул предлага систематичен набор от правила за манипулиране на ценностите на истината. Тези правила дадоха математическа основа за справяне с логически предложения. Тези набори от основи доведоха до развитието на булева алгебра.

За да разберем най-добре булевата алгебра, първо трябва да разберем приликите и разликите между булевата алгебра и другите форми на алгебра.

Като цяло алгебрата се занимава с изучаването на математически символи и операциите, които могат да бъдат извършени върху тези символи.

Тези символи нямат собствено значение. Те представляват някакво друго количество. Именно тази величина придава някаква стойност на тези символи и именно тази величина действително се извършва.

Булевата алгебра също се занимава със символи и правила, които управляват операциите с тези символи, но разликата се крие в това, което тези символи представляват .

В случай на обикновена алгебра, символите представляват реалните числа, докато в булевата алгебра те представляват стойностите на истината.

Изображението по-долу показва целия набор от реални числа. Наборът от реални числа включва естествени числа (1, 2, 3, 4 ....), цели числа (всички естествени числа и 0), цели числа (..... - 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) и така нататък. Обикновената алгебра се занимава с целия този набор от числа.

Стойностите на истината в сравнение се състоят от набор от само две стойности: False и True. Тук бих искал да посоча факта, че можем да използваме всеки друг символ, за да представим тези стойности.

Например в компютърните науки ние най-вече представяме тези стойности, като използваме 0 и 1. 0 се използва за False и 1 за True.

Можете също да го направите по по-изискани начини, като представите истинни ценности с някои други символи като Котки и Кучета или Банани и Портокали.

Въпросът тук е, че вътрешното значение на тези символи ще остане същото, независимо от символа, който използвате. Но се уверете, че не променяте символите, докато извършвате операциите.

Сега въпросът е, че ако (True и False), (0 и 1) са само представянията, тогава какво се опитват да представят?

Основното значение на ценностите на истината идва от полето на логиката, където стойностите на истината се използват, за да се каже дали дадено предложение е „Вярно“ или „Невярно“. Тук стойностите на истината представляват отношението на дадено предложение към истината, т.е. дали предложението е вярно или невярно.

Предложението е просто твърдение като „Всички котки са сладки“.

Ако горното предложение е вярно, тогава ние му присвояваме истинността на „True“ или „1“, в противен случай го присвояваме „False“ или „0“.

В Digital Electronics стойностите на истината се използват за представяне на състоянията "On" и "Off" на електронните вериги. Ще обсъдим повече за това по-късно в тази статия.

Булеви операции и таблици на истината

Подобно на обикновената алгебра, булевата алгебра също има операции, които могат да бъдат приложени върху стойностите, за да се получат някои резултати. Въпреки че тези операции не са подобни на тези в обикновената алгебра, тъй като, както дискутирахме по-рано, булевата алгебра работи върху стойности на истината, а не на реални числа.

Булева алгебра има три основни операции.

ИЛИ : Известен също като Дизюнкция . Тази операция се извършва върху две булеви променливи. Резултатът от операцията OR ще бъде 0, когато и двата операнда са 0, в противен случай ще бъде 1.

За да получим по-ясна представа за това, което прави тази операция, можем да я визуализираме с помощта на таблица на истината по-долу.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

И : Известен също като конюнкция . Тази операция се извършва върху две булеви променливи. Резултатът от операциите AND ще бъде 1, когато и двата операнда са 1, в противен случай ще бъде 0. Представянето на таблицата на истината е както следва.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

ЗАБЕЛЕЖКА : Известен също като отрицание . Тази операция се извършва само с една променлива. Ако стойността на променливата е 1, тогава тази операция просто я преобразува в 0 и ако стойността на променливата е 0, тогава тя я преобразува в 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Булева алгебра и цифрови схеми

След първоначалното си развитие, булевата алгебра, в продължение на много дълго време, остана една от онези концепции в математиката, които нямаха никакви значими практически приложения.

През 30-те години на миналия век Клод Шанън, американски математик, осъзнава, че булевата алгебра може да се използва във вериги, където бинарните променливи могат да представят сигналите за ниско и високо напрежение или състояния „включено“ и „изключено“.

Тази проста идея за създаване на схеми с помощта на булева алгебра доведе до развитието на цифрова електроника, която допринесе значително за развитието на схеми за компютри.

Цифровите схеми прилагат булева алгебра с помощта на Logic Gates. Logic Gates са схемите, които представляват булева операция. Например ИЛИ порта ще представлява операция ИЛИ. Същото важи и за NOT и AND портите.

Наред с основните логически порти имаме и логически порти, които могат да бъдат създадени с помощта на комбинацията от основните логически порти.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Other than the above mentioned gates we also have some special kind of gates which serve some specific purpose. These are as follows:

XOR: XOR gate or Exclusive-OR gate is a special type of logic gate which gives 0 as output if both of the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR: XNOR gate or Exclusive-NOR gate is a special type of logic gate which gives 1 as output when both the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Conclusion

So, with all that we can now conclude our discussion on Boolean Algebra here. I hope by now you have a decent picture of what Boolean Algebra is all about.

This is definitely not all you need to know about Boolean Algebra. Boolean Algebra has a lot of concepts and details that we were not able to discuss in this article.