Попълване на формулата на квадрата: Как да попълним квадрата с квадратно уравнение

Помислете за следното квадратно уравнение: x2 = 9 . Ако бъдете помолени да го разрешите, естествено бихме взели квадратния корен от 9 и в крайна сметка получихме 3 и -3 . Но какво ще стане, ако обикновените методи с квадратен корен няма да помогнат? Какво ще стане, ако уравнението включва х, повдигнато до първата степен и не може лесно да бъде разчетено на фактори?

За щастие има метод за попълване на квадрата . В резултат на това квадратното уравнение може да бъде решено чрез вземане на квадратния корен. Нека разгледаме това стъпка по стъпка заедно.

Да кажем, че ни е дадено следното уравнение:

ПРИМЕР 1: Попълване на квадрата

СТЪПКА 1: Отделете променливите условия от постоянния срок

Нека опростим нашето уравнение. Първо, отделете термините, които включват променливи, от постоянните членове. След това извадете x от 13x (резултатът е 12x ) и извадете 7 от 6 (резултатът е -1 ).

СТЪПКА 2: Уверете се, че коефициентът на X на квадрат е равен на 1

Методът за попълване на квадрата работи много по-лесно, когато коефициентът x2 е равен1 . Коефициентът в нашия случай е равен на 4 . Разделяне4 във всеки член води до x2 + 3x = - 1/4 .

СТЪПКА 3: Попълнете площада

Първо трябва да намерим постоянния член на нашия пълен квадрат. Коефициентът на x , който е равен3 е разделено на 2 и на квадрат, което ни дава 9/4 .

След това добавяме и изваждаме 9/4, както е показано по-горе. Това не засяга нашето уравнение ( 9/4 - 9/4 = 0 ), но ни дава израз за пълния квадрат x2 + 3x + 9/4 .

СТЪПКА 4: Коефициент The Expression X на квадрат + 3X + 9/4

Нека сега си спомним по-общо (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 и да го използваме в текущия пример. Заместването на нашите числа ни дава:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

СТЪПКА 5: Вземете квадратния корен

И накрая, вземането на квадратния корен от двете страни ни дава √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Или простоx + 3/2 = ± √2 . Заключваме това, като решаваме за x : X 1 = √2 - 3/2и X 2 = - √2 - 3/2 .

ПРИМЕР 2: Нека решим още един

СТЪПКА 1: Отделете променливите условия от постоянния срок

Опростете, като разделите термините с променливи от постоянните членове. След това извършете изваждане и събиране от двете страни на уравнението.

СТЪПКА 2: Уверете се, че коефициентът на x на квадрат е равен на 1

Тук коефициентът на X2 вече е равен на 1 , така че не са необходими допълнителни действия.

СТЪПКА 3: Попълнете площада

Както в предишния пример, ние намираме постоянния член на нашия пълен квадрат. Коефициентът на x , който е равен-8 е разделено на 2 и на квадрат, което ни дава 16 .

Събираме и изваждаме 16 и виждаме, че x2 - 8x + 16 ни дава пълен квадрат.

СТЪПКА 4: Коефициент The Expression X на квадрат - 8X + 16

Тъй като константният член -8 е със знака минус, ние използваме тази обща форма: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Използването на нашите числа ни дава: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

СТЪПКА 5: Вземете квадратния корен

И накрая, вземането на квадратния корен от двете страни ни дава √ (x - 4) 2 = ± √11 . Или простоx - 4 = ± √11 . Заключваме това, като решаваме за x : X 1 = 4 + √11и X 2 = 4 - √11

И ето го!