Пермутация и комбинация: Разликата, обяснена с примери за формули

Пермутациите и комбинациите са изключително полезни в толкова много приложения - от компютърно програмиране до теория на вероятностите до генетика.

Ще ви запозная тези две концепции едно до друго, за да видите колко полезни са те.

Ключовата разлика между тези две концепции е подреждането. С Permutations вие се фокусирате върху списъци с елементи, където техният ред има значение.

Например, аз съм роден през 1977г . Това е номер 1, последван от номер 9 , последван от номер 7 , последван от номер 7 . В този конкретен ред.

Ако вместо това променя поръчката на 7917 , това ще бъде съвсем различна година. По този начин редът има значение .

С комбинации , от друга страна, фокусът е върху групи от елементи, когато заповедта е да не са от значение.

Както моята чаша кафе е комбинация от кафе , захар и вода . Няма значение в кой ред добавям тези съставки. Възможно е също да има вода , захар и кафе , все пак е същата чаша кафе. По този начин, подава поръчката, не е от значение.

Сега нека разгледаме по-отблизо тези понятия.

Част 1: Пермутации

Пермутации, където е позволено повторение

Представете си, че имате нов телефон. Когато започнете да използвате този нов телефон, в един момент ще бъдете помолени да зададете парола.

Отблизо и лично

Паролата трябва да се състои от 4 цифри. Всякакви 4 цифри. И те може да се повтарят.

За начало има общо 10 цифри. Това са: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Така че за първата цифра на вашата парола имате 10 възможности за избор.

Тъй като можете да използвате същата цифра отново, броят на изборите за втората цифра от нашата парола ще бъде отново 10 ! По този начин, избирайки две от цифрите на паролата досега, пермутациите са 10 пъти по 10, или 10 х 10 = 100 или 102 .

Същото мислене важи и за третата цифра на вашата парола. Отново можете да избирате от същите 10 избора. Този път ще имате 10 по 10 по 10 или 10 х 10 х 10 = 1000 или 103 пермутации.

Най-накрая, за да изберем четвъртата цифра на паролата и същите 10 цифри, в крайна сметка получаваме 10 по 10 по 10 по 10 или 10 х 10 х 10 х 10 = 10 000 или 104 пермутации.

Както вероятно забелязахте, трябваше да направите 4 избора и умножихте 10 четири пъти (10 х 10 х 10 х 10), за да стигнете до общ брой пермутации (10 000). Ако трябва да изберете 3 цифри за паролата си, ще умножите 10 три пъти. Ако 7 , ще го направите седем пъти и т.н.

Но животът не е само пароли с цифри, от които да избирате. Ами ако имате рожден ден и трябва да изберете 5 цветни балона от 20 различни цвята на разположение?

Тъй като имате 20 различни цвята за избор и може да изберете същия цвят отново, за всеки балон имате 20 възможности за избор. Първият балон е 20 , вторият балон е 20 по 20 или 20 х 20 = 400 и т.н. За петия балон получавате 20 х 20 х 20 х 20 х 20 = 3 200 000 или 205 пермутации.

Нека обобщим с общото правило: когато поръчката има значение и е позволено повторение, ако n е броят на нещата, от които да избирате (балони, цифри и т.н.), а вие изберете r от тях (5 балона за партито, 4 цифри за паролата и др.), броят на пермутациите ще бъде равен на P = nr .

Пермутации, където повторението не е разрешено

След това нека разгледаме случая, в който повторението не е разрешено . Като пример ще разгледаме планетите на нашата Слънчева система.

Колко различни начина можете да подредите тези 8 планети? Планетите са: Меркурий , Венера , Земя , Марс , Юпитер , Сатурн , Уран и Нептун . След като изберете, да речем, Меркурий, не можете да го изберете отново. По този начин трябва да намалите броя на наличните възможности за избор всеки път, когато планетата е избрана.

Първият избор ще има 8 възможности. Вторият избор ще има 8 минус 1 е равно на 7 възможности, след това 6 , последвано от 5 , последвано от 4, докато в списъка ни остане 1 планета.

Следвайки логиката от предишния сценарий, общият брой на пермутациите е: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320 .

С други думи, това е произведение на цяло число 8 и всички положителни цели числа под него. Този продукт се нарича Factorial и се обозначава с удивителен знак по следния начин: 8!

Броят на пермутациите е равен на P = 8! или по-общо P = n!

Ами ако трябва само да подредите, да речем, 5 от тези 8 планети, вместо всички тях? Тогава правите само първите 5 стъпки от нашия метод. А именно P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 ще бъде колко начини можете да подредите 5 планети от 8 .

Но защо да спрем тук? Защо не приложим нашата логика, за да измислим по-обща формула? За да направим горната нотация лесна за запомняне за произволен брой обекти, ще използваме трик. В частта, умножаването на числителя и знаменателя по едно и също число (с изключение на нула), не засяга тази дроб. По този начин:

Брой планети за избор от n = 8 , вие изберете r = 5 от тях. Заместването на числата в горната формула ни дава P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Същото като 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 .

Оттук може да се изведе резултатът от по-ранния пример. Там подредихте всичките 8 от 8 налични планети. Използвайки новата формула, P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Тъй като факториал от нула е съгласен да е равен на 1 , P = 8! / 1 = 8 !. Или по-общо:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

Една кратка и удобна нотация, която често се използва, е: P (n, r) = n! / (n - r)!

Помнянето на формули е важно. Но по-важното за решаването на реални житейски проблеми е да знаете кои формули да използвате във всяка ситуация. Практиката помага.

Поп тест:

Турнирът е включен и шест отбора се състезават. Първо място получава злато, а второ място сребърни медали. Колко различни начини могат да бъдат връчени на тези отбори?

Изберете 1 отговор


30
360
720
15
Изпращане

Обяснение: имате 6 отбора, от които да избирате. По този начин n = 6 . Златото и среброто заедно ви дават 2 медала за награждаване. По този начин r = 2 . Заместването на тези числа във вашата формула ни дава P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 х 5 = 30 .

Част 2. Комбинации

Комбинации без повторение

За да направим сравнението по-ярко, нека да прегледаме отново нашия пример за избор на планета. Ами ако искате да знаете точно кои планети са избрани, а не техния ред на поява?

Там сте имали 6720 различни начина да подредите 5 от 8 планети. Но тъй като редът на появата сега няма значение, много от тези начини са излишни . Те са еднакви за нас.

Една група от Венера, Земята, Mars, Jupiter, Saturn е същата група като Mars, Jupiter, Венера, Земята, Saturn и група като Saturn, Mars, Земята, Юпитер, Венера. Това са просто различни последователности на едни и същи 5 планети.

Колко групи имате еднакви? Ако изберете r планети за група, получавате r! групи. За r = 5 получавате r! = 5! = 120 групи.

По този начин, за да премахнете ненужните групи, които са еднакви, разделяте броя на оригиналните 6720 Пермутации на 5! . Резултатът е 6,720 / 120 = 56 .

За да обобщите, за да стигнете до броя на комбинациите , трябва да разберете всички Пермутации и да разделите на всички Излишъци .

Използване на кратка и удобна нотация: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

И това се приема, че за да се не от значение и има не повторения (това е - има само един Юпитер да избирате).

Нека да прегледаме отново примера на турнира:

Турнирът е включен и шест отбора се състезават. Първо място получава злато, а второ място сребърни медали. Колко групи носители на медали са възможни? Редът на отборите няма значение

Изберете 1 отговор


360
15
30
720
Изпращане

Както и преди, имате 6 отбора. По този начин n = 6 . Раздадени са два медала, така че r = 2 . Този път обаче няма значение кой печели злато и кой печели сребро. Отборното злато и отборното сребро е същото като отборното сребро и отборното злато. Заместването на тези числа във вашата формула ни дава C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Комбинации с повторение

За да завършите тази статия, има един случай, който изисква специално внимание. Досега в нашите комбинации предполагахме, че няма повторение. Нямаше две еднакви предмети.

Ами ако можем да имаме повторения? Ами ако, както в нашия предишен пример, можем да изберем повече от един балон от един и същи цвят? Ако броят на балоните, от които да избирате, е n и ние изберем r от тях, като същевременно даваме възможност за еднакви цветове и пренебрегвайки реда на подреждане, ще завършим с (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Комбинации .

Така че приключваме, ето таблица, която можете да използвате, за да се позовавате на тези понятия и техните формули.

Надявам се, че тази статия ви е помогнала да разберете по-добре тези две важни математически понятия. Благодаря за четенето.